课程题目: 计数组合及应用 Enumerative Combinatorics and Applications
时间：5月9日--6月22日，每周二晚19:00-20:30，每周四下午13:30-15:00
地点：理科楼数学系A404
主讲人：
法国国家科学研究中心研究员韩国牛，来访并讲学。韩老师是国际著名的计数组合专家，在组合双设理论的研究中取得了重要成就；曾经在13年、16年两次来访讲学，所授相关课程深受欢迎。
课程简介: 本课程介绍计数组合学的方法及应用。不同于传统的组合课程，这里重点介绍最近三十年来兴起的双射理论，并通过大量例子示范如何高效率地解决各种计数问题。其中既包括有关排列，整数的分拆，树等传统计数问题;也涉及到对称函数，行列式，连分式，杨表等这样一些现在非常流行的研究课题.
This course is designed to show some methods and application in Enumerative Combinatorics. In contrast to traditional course on Combinatorics, I will focus on the bijective theory, a rising field of study since the last thirty years ; and show how to solve counting problems efficiently by discussing several examples. Its contain not only traditional counting problems for permutations, integer partitions and trees ; but also some modern research topics like symmetric functions, determinant evaluations, continued fractions and Young tableaux.
教学大纲
第一章：计数组合学基础 （10学时）
这一章介绍本课程所需的基本知识， 主要包括 计数问题简介， 形式幂级数，生成函数（又称母函数），排列，对称群，递推关系，双射理论简介，
整数的分拆，树的计数，经典数列的组合表达，Catalan数， Stirling数。
第二章：统计等分布问题（6学时）
统计等分布问题是计数组合学中的一个重要研究方向。本章介绍统计等分布问题的观察，提出，和解决方法。本课程通过一些具体例子来重点讲述用双射理论解决等分布问题。这些例子包括一些经典的等分布问题，同时也会介绍一些近年的科研成果。本章也会涉及到多维等分布问题。
第三章：对称函数（8学时）
这部分内容包括对称函数, 重点是Schur函数, 它可以由行列式来定义，也可以用杨表来定义。Schur函数具有的一些非常漂亮的性质及应用,
对此我们将会给出行列式计算和组合模型两种解释. 本章也会介绍几个平面分拆的公式及证明。
第四章：行列式计算（8学时）
本章讲述行列式计算的高级技术，可以看作是计数组合学的一个重要应用。对于一个固定维数的具体的行列式，我们可以根据定义和各种性质来求它的值，这不是本课程所关心的问题。本课程所研究的行列式的维数是不固定的参数。主要介绍Lindstrom–Gessel–Viennot
定理以及如何运用这个定理来计算行列式。这个方法非常有效，近年来许多最新科研成果都使用了这个工具.
主要教材: 自编讲义
预备知识: 线性代数（矩阵，行列式）和数学分析（导数微积分，泰勒展开）
参考文献:
[1] Stanley, Richard P., Enumerative Combinatorics, vol. 1, Cambridge university press, 1997
[2] Stanley, Richard P., Enumerative Combinatorics, vol. 2, Cambridge university press, 1999 |
