| 近几十年来，有限元法已成为求解科学与工程问题的主要数值手段，然而随着其应用范围的扩展，其固有的一些缺陷也日益突出。在金属冲压成形、高速碰撞、流固耦合等涉及特大变形的领域中，拉格朗日有限元法的网格可能发生严重扭曲，甚至使单元雅可比行列式为负值，不仅需要网格重构，而且严重影响解的精度；对高速冲击等动态问题，网格的扭曲将使得时间积分步长过小，大幅度地增加了计算工作量；对动态裂纹扩展问题，需要不断地重新划分网格以适应裂纹的扩展方向。由于有限元近似基于网格，必然难于处理与原始网格线不一致的不连续性和大变形。网格重构不仅计算费用昂贵，而且会损害计算精度。鉴于这种缺陷，近10多年来国际上兴起了无网格法的研究。无网格方法采用基于点的近似，可以彻底或部分地消除网格，不需要网格的初始划分和重构，不仅可以保证计算的精度，而且可以大大减小计算的难度。
本报告以加权余量法为主线归纳了已有的30多种无网格法，介绍了各种无网格近似方案(包括移动最小二乘近似、核近似和重构核近似、单位分解近似、径向基函数近似、点插值近似、自然邻接点插值近似等等)和无网格法中常用的各类加权余量法(伽辽金格式、配点格式、局部弱形式、加权最小二乘格式、边界积分格式等), 并讨论了数值积分方法和边界条件的处理等问题，总结了无网格法在冲击爆炸、裂纹传播、超大变形、结构优化、流固耦合、生物力学和微纳米力学等领域的应用, 展示了无网格法相对于传统数值方法的优势。
个人简介：清华大学航空航天学院教授，博士生导师。现兼任中国力学学会计算力学专业委员会委员、北京振动工程学会副理事长、International Journal of Computational Methods编委、《计算力学学报》编委。
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